Question

設函數f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤，其中n為正整數。
（1）判斷函數f₁（θ）、f₃（θ）的單調性，并就f₁（θ）的情形證明你的結論；
（2）證明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）對于任意給定的正奇數n，求函數f_n（θ）的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）在上均為單調遞增的函數，
對于函數，設，，
則，
∵，
∴
∴函數在上單調遞增；
（2）∵原式左邊= 　　
　　
，
又原式右邊=，
∴；
（3）當n=1時，函數在上單調遞增，　　　　　　　
∴的最大值為，最小值為，
當n=3時，函數在上為單調遞增，　
∴的最大值為，最小值為，
下面討論正奇數n≥5的情形：對任意且，

以及，　　　　　　　
∴，
從而，
∴在上為單調遞增，　　　　　　　
則的最大值為，最小值為，
綜上所述，當n為奇數時，函數的最大值為0，最小值為-1。