Question

【題目】設函數（且）是定義域為的奇函數.

（1）若，試求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）-2

【解析】

首先利用奇函數求得的值.（1）根據求得，由此求得函數是單調遞增函數，再根據函數的奇偶性和單調性求得不等式的解集.（2）利用求得的值.由此求得函數的解析式.在利用換元法以及配方法求得函數在給定區間上的最小值.

∵f(x)是定義域為R的奇函數，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.

(1)∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1.∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，當a>1時，y＝ax和y＝－a－x在R上均為增函數，∴f(x)在R上為增函數，原不等式可化為f(x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，∴x>1或x<－4，∴不等式的解集為{x|x>1或x<－4}．

(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.∴a＝2或a＝－ (舍去)，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，則g(t)＝t2－4t＋2.∵t＝h(x)在[1，＋∞)上為增函數(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝，即t≥，g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈.∴當t＝2時，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此時x＝log2(1＋)，故當x＝log2(1＋)時，g(x)有最小值－2.