Question

【題目】中心在原點的橢圓C1與雙曲線C2具有相同的焦點，F1（﹣c，0），F2（c，0），P為C1與C2在第一象限的交點，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若橢圓C1的離心率 ，則雙曲線的離心率e2的范圍是（ ）
A.
B.
C.（2，3）
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0）， 其離心率為e1 ，
雙曲線的方程為 ﹣ =1（m＞0，n＞0），其離心率為e2 ，
|F1F2|=2c，
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P，
△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形，
∴在橢圓中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，
∴|PF2|=2a﹣2c，①
同理，在該雙曲線中，|PF2|=2c﹣2m；②
由①②可得m=2c﹣a．
∵e1= ∈（ ， ），
∴ ＜ ＜ ，
又e2= = = = ∈（2，3）．
故選：C．

設橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0）（a＞b＞0），其離心率e1 ， 雙曲線的方程為 ﹣ =1（m＞0，n＞0），離心率為e2 ， 由e1= ∈（ ， ），e2= ，由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形，結合橢圓與雙曲線的定義可求得m=2c﹣a，從而可求得答案．