Question

已知數列{a_n}的各項都為正數，且對任意n∈N^*，都有（k為常數）．
（1）若，求證：a₁，a₂，a₃成等差數列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差數列，求的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b為常數），是否存在常數λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把，代入，令n=1化簡即可證明；
（2）當k=0時，，由于數列{a_n}的各項都為正數，可得數列{a_n}是等比數列，設公比為q＞0，根據a₂，a₄，a₅成等差數列，可得a₂+a₅=2a₄，即，解出即可；
（3）存在常數λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．由，及，可得，由于a_n＞0，兩邊同除以a_na_n+1，得到，進而=…=，即當n∈N^*時，都有，再利用已知求出a₁，a₂，a₃即可證明．
解答：（1）證明：∵，
∴，
令n=1，則，
∵a₁＞0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差數列；
（2）當k=0時，，
∵數列{a_n}的各項都為正數，
∴數列{a_n}是等比數列，設公比為q＞0，
∵a₂，a₄，a₅成等差數列，
∴a₂+a₅=2a₄，∴，
∵a₁＞0，q＞0，
∴q³-2q²+1=0，
化為（q-1）（q²-q-1）=0，解得q=1或．
∴或．
（3）存在常數λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．
證明如下：∵，∴，
∴，即，
由于a_n＞0，兩邊同除以a_na_n+1，得到，
∴=…=，
即當n∈N^*時，都有，
∵a₁=a，a₂=b，，
∴a₃=．∴=．
∴存在常數λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．
點評：本題綜合考查了等比數列與等差數列的定義及通項公式，靈活的變形推理能力和計算能力．