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已知圓的方程是：，其中，且。

(1)求證：取不為1的實數時，上述圓恒過定點；(2)求與圓相切的直線方程；(3)求圓心的軌跡方程。

解：將方程整理得：

令  

  解之得：     ∴定點為(1，1)；-------------------------------------4分

(2)易得已知圓的圓心坐標為，半徑為。

設所求切線方程為，即，

則圓心到直線的距離應等于圓的半徑，即=恒成立。

整理得等式：

恒成立。

比較系數可得：

 解之得，所以，所求的切線方程是。------------9分

(3)圓心坐標為，又設圓心坐標為，則有：

  消去參數得為所求的圓心的軌跡方程。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•崇文區一模）已知圓B方程（x-c）2+y2=4a2（a＞c＞0，a，c是常數），且A（-c，0），點M在圓B上運動，線段AM的垂直平分線交MB于點P．
（Ⅰ）判斷點P的軌跡；
（Ⅱ）若滿足題設的點P，使∠APB取其最大值
π2
時，求點P的軌跡的離心率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C,D是軸上的動點,直線DA、DB分別切圓C于兩點。

（1）如果，求直線CD的方程；

       （2）求動弦的中點的軌跡方程E；

       （3）直線（為參數）與方程E交于P、Q兩個不同的點，O為原點，設直線OP、OQ的斜率分別為，試將表示成m的函數，并求其最小值。

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓的方程是x2+y2+2ax=0,則其半徑和圓心坐標分別是(    )

A.a和(a,0)        B.a和(-a,0)         C.|a|和(a,0)        D.|a|和(-a,0)

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年湖南省高三四月模擬考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，且，(為坐標原點).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

 (Ⅱ)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點?若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三第七次階段復習達標檢測文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，且，(為坐標原點).

 (Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點?若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

 

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