Question

（2013•汕尾二模）已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數．
（Ⅰ） 當a=-1時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 討論f（x）在區間（0，e）上的單調情況；
（Ⅲ）試推斷方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有實數解．若有實數解，請求出它的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，對函數f（x）=x+lnx求導數，研究出函數在定義域上的單調性，判斷出最大值，即可求出；
（II）由于函數f（x）=ax+lnx系數中帶有參數a，可先求導，對參數a的取值范圍進行討論，確定出區間（0，e）上的單調情況；
（III）由于函數的定義域是正實數集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可變為|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

，再分別研究方程兩邊對應函數的性質，即可作出判斷．

解答：解：（Ⅰ） 當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數…（3分）
∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）
①若a≥-

1

e

，則f′（x）＞0，從而f（x）在（0，e）上增函數…（6分）
②若a＜-

1

e

，則由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函數，在(-

1

a

，e)為減函數…（8分）
綜合上面得：當a≥-

1

e

時，f（x）在（0，e）上增函數；當a＜-

1

e

時，f（x）在(0，-

1

a

)上增函數，在(-

1

a

，e)為減函數．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）
由（Ⅰ）知當a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增區間為（0，e），減區間為（e，+∞）
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）
∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x沒有實數解．…（14分）

點評：本題考查導數綜合運用，解題的關鍵是理解導數與函數性質的相關對應，本題考查了靈活轉化的能力，計算能力，分類討論的思想，綜合性強，難度較高，是高考中考查能力的常用試題，題后應用心體會本題中所使用的轉化技巧及分類的標準．