Question

（2013•營口二模）已知橢圓

y2

25

+

x2

9

=1的上、下焦點分別為F₂和F₁，點A（1，-3），
（1）在橢圓上有一點M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）當|F₂M|+|MA|取最小值時，求直線MF₁被橢圓截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程求出上下兩個焦點，利用三角形中兩邊之差小于第三邊把|F₂M|+|MA|的值縮小，得到當點M在橢圓上并在線段F₁A的延長線上時|F₂M|+|MA|取得最小值；
（2）由（1）知，當|F₂M|+|MA|取最小值時，點M在直線AF₁上，由兩點式寫出直線方程，和橢圓方程聯立后直接利用弦長公式求直線MF₁被橢圓截得的弦長．

解答：解：（1）由橢圓方程

y2

25

+

x2

9

=1得，a=5，b=3，
∴c=

a2-b2

=

25-9

=4，則橢圓兩個焦點F₁（0，-4），F₂（0，4），
又A（1，-3），
|F₂M|+|MA|≥|F₂M|+|MF₁|-|AF₁|=2a-|AF₁|=10-|AF₁|．
當

MF1

與

AF1

同向共線時取等號，即取最小值．
而|AF1|=

(1-0)2+(-3+4)2

=

2

．
∴當點M在橢圓上并在線段F₁A的延長線上時取得最小值，
|F₂M|+|MA|的值最小為10-

2

；
（2）當|F₂M|+|MA|取得最小值時，點M在直線AF₁上，可求得
直線AF₁的方程為：y=x-4．
直線AF₁與橢圓相交于兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立方程

y2 25 + x2 9 =1 y=x-4

，得34x²-72x-81=0．
則x1+x2=

72

34

=

36

17

，x1x2=-

81

34

．
∴弦長|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 36 17 )2-4(- 81 34 )

=

2

17

362+162×17

=

2×4050

17

=

90

17

．
∴直線MF₁被橢圓截得的弦長為

90

17

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及圓錐曲線中的最值問題，往往要借助于圓錐曲線的定義解決，體現了數學轉化思想方法，弦長公式實際上是兩點間距離公式的簡化形式，此題是中檔題．