Question

函數f（x）的定義域為（0，+∞），并滿足以下條件：
①對任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（3）若x滿足，求函數的最大、最小值．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）設x₁，x₂是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＞x₂＞0，
則，則，
于是有，
即f（x₁）＞f（x₂）．
則由函數單調性的定義知，f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
（3）由（2）及知，，
于是在上單調遞減，在上單調遞增，
，
因此最大值為x=2時，，
最小值為時，，
綜上所述，的最大值為，最小值為2．
分析：（1）賦值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用單調性定義：設x₁＞x₂＞0，則，由此可判斷單調性；
（3）先根據單調性求出x的范圍，然后判斷的單調性，根據單調性即可求得其最值．
點評：本題考查抽象函數的單調性、最值問題，關于抽象函數的單調性一般采用定義判斷．