Question

【題目】定義：對于任意，滿足條件且是與無關的常數的無窮數列稱為數列．

（1）若，證明：數列是數列；

（2）設數列的通項為，且數列是數列，求常數的取值范圍；

（3）設數列，問數列是否是數列？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）當時數列是T數列；當時數列不是T數列，見解析

【解析】

（1）根據，求出，根據題中條件，即可判斷出結果；

（2）先作差得到，判斷其單調性，即可得出結果；

（3）分，，三種情況，根據數列需要滿足的條件，分別求解，即可得出結果.

（1）由，得

，

所以數列滿足，又，當或時，取得最大值，即．

綜上，數列是數列

（2）因為，

所以當即時，，此時數列單調遞增.

當時，，此時數列單調遞減；故數列的最大項是，

所以，的取值范圍是

（3）①當時，當時，

由得，

即當時符合條件若，則，此時

于是

又對于有，所以當時數列是數列；

②當時，取則：，

由，所以時數列不是數列

③當時，

取則，

由，所以時數列不是數列

綜上：當時數列是數列；當時數列不是數列