Question

已知關于x方程xlnx=ax+1（a∈R），下列說法正確的是

1. A.
   方程可能沒有實數根
2. B.
   方程可能有兩個實數根
3. C.
   方程一定有一個實數根
4. D.
   方程一定有兩個實數根

Answer 1

C
分析：先將方程變形為lnx=a+，構造函數f（x）=lnx-a-，確定函數f（x）=lnx-a-在（0，+∞）上單調增，再利用零點存在定理即可得到結論．
解答：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化為lnx=a+
構造函數f（x）=lnx-a-，則f′（x）=＞0
∴函數f（x）=lnx-a-在（0，+∞）上單調增
∵x→0時，f（x）＜0，x→+∞時，f（x）＞0
∴方程一定有一個實數根
故選C．
點評：本題重點考查方程根的存在性，考查導數知識的運用，解題的關鍵是構建函數，確定函數的單調性．