Question

已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個高為x的內接圓柱． 如圖所示．
（1）若設圓柱底面半徑為r，求證：r=R（1-

x

H

）；
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）我們可以畫出圓錐的軸截面，將空間問題轉化為平面問題，然后根據相似三角形的性質和比例的性質，易得到結論．
（2）由圓柱的側面積公式，我們易得S_側=2πrx=2πxR（1-

x

H

），展開后易得一個關于x的二次函數解析式，根據二次函數的性質易得到其最大值，及對應的x的值．

解答：解：（1）根據已知，如下圖所示

記軸截面為△SAB，EFGH為內接矩形，F在SB上．
則

x

H

=

BF

SB

，

r

R

=

SF

SB

，
則

x

H

+

r

R

=1，
r=R（1-

x

H

）．（4分）
（2）S_側=2πrx=2πxR（1-

x

H

）（6分）
=

2πR

H

[-(x-

H

2

)2+

H2

4

]（8分）
當x=

H

2

時，y_max=

πRH

2

（10分）

點評：本題考查的知識點是圓錐的幾何特征及圓錐及圓柱的側面積公式，將空間問題轉化為平面問題是解答立體幾何題最常用的思路．