Question

11、若函數y=f（x）滿足：①對任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab；②y=f（x）圖象的一條對稱軸方程是x=k；③y=f（x）在區間[1，2]上單調遞增，則實數k的取值范圍是（　　）

A、k≤1

B、k≥2

C、k≤2

D、k≥1

Answer 1

分析：由對任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab，可求得f（0）=0，構造f（0）=f（x）+f（-x）-2x²=0可得f（x）+f（-x）=2x²，結合已知可知，f（x+k）=f（k-x），從而可得f（x）=x²-2kx，結合二次函數的性質可求k的取值范圍

解答：解：對任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab
令a=b=0可得，f（0）=2f（0），即f（0）=0
而f（0）=f（x）+f（-x）-2x²=0
∴f（x）+f（-x）=2x²①
∵y=f（x）圖象的一條對稱軸方程是x=k
∴f（x+k）=f（k-x）
從而可得，f（x）+f（k）+2kx=f（k）+f（-x）-2kx
即f（x）-f（-x）=-4kx②
①②聯立可得，f（x）=x²-2kx；
y=f（x）=x²-2kx；在區間[1，2]上單調遞增
∴k≤1
故選：A

點評：本題以抽象函數的性質的考查為載體，主要考查了利用賦值法求解函數的函數值及函數的解析式，解決本題的關鍵有兩個（1）是先要根據條件f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab，求出f（0）=0，進而構造出f（x）+f（-x）=2x²的形式，（2）是根據已知對稱軸及條件①得到了f（x）-f（-x）=-4kx，從而求解出函數的解析式，本題是一道綜合性較好的試題，且性質的應用非常巧妙，是一道好題．