Question

設滿足以下兩個條件的有窮數列a₁，a₂，…a_n為n(n＝2，3，4…)階“期待數列”：

①a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝0；

②|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝1．

(1)若等比數列{a_n}為2k(k∈N*)階“期待數列”，求公比q；

(2)若一個等差數列{a_n}既是2k(k∈N*)階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

(3)記n階“期待數列”{a_i}的前k項和為S_k(k＝1，2，3…，n)：

(ⅰ)求證：；

(ⅱ)若存在m∈{1，2，3…n}使，試問數列{S_i}能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若，則由①＝0，得， 　　由②得或． 　　若，由①得，，得，不可能． 　　綜上所述，． 　　(2)設等差數列的公差為，＞0． 　　∵，∴， 　　∴， 　　∵＞0，由得，， 　　由題中的①、②得， 　　， 　　兩式相減得，，　∴， 　　又，得， 　　∴． 　　(3)記，，…，中非負項和為，負項和為， 　　則，，得，， 　　(ⅰ)，即． 　　(ⅱ)若存在使，由前面的證明過程知： 　　，，…，，，，…，， 　　且…． 　　記數列的前項和為， 　　則由(ⅰ)知，， 　　∴＝，而， 　　∴，從而，， 　　又…， 　　則， 　　∴， 　　與不能同時成立， 　　所以，對于有窮數列，若存在使，則數列和數列不能為階“期待數列”．