Question

【題目】如果在一條平面曲線上存在四點，使得這四點構成的圖形是一個菱形，則稱該曲線存在內接菱形．現已知雙曲線，雙曲線，其中，，．證明：在雙曲線與中有且僅有一條存在內接菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證如下兩個引理．

引理1　若雙曲線存在內接菱形，則該菱形的中心必是原點．

不妨設雙曲線上存在內接菱形，其坐標分別為、、、，對角線與的交點為．

若直線（或）平行軸，則（或）必為軸．易知此時、、、四點不滿足題意．故直線與的斜率均存在，設為、．

由，，

兩式相減，得，即．

由上式知，若、中有一個為零時，則兩個均為零．

若、均不為零，則可得．

同理，可得．

上面兩式相乘，得．

這是不可能的．故總有、成立．

引理2　雙曲線存在內接菱形的充要條件是．

如圖，，分別是雙曲線的兩條漸近線．

若四邊形是其內接菱形，

則必有、，且，即．

故必有，即．

∴．

反之，當時，易知在該雙曲線上必存在一個中心為原點的內接菱形．引理2得證．

下面利用上述兩個引理來證明原題．

由于和為一對共軛雙曲線，且，故當時，知上存在內接菱形，而上不存在；

當時，知上存在內接菱形，而上不存在．

故雙曲線和上有且僅有一條上存在內接菱形．