Question

已知正實數x，y，設a=x+y，b=

x2+7xy+y2

．
（1）當y=1時，求

b

a

的取值范圍；
（2）若以a，b為三角形的兩邊，第三條邊長為c構成三角形，求

c2

xy

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）法一：當y=1時，x=a-1，由x，y均為正實數，代入b=

x2+7xy+y2

，可得

b

a

=

-5( 1 a - 1 2 )2+ 9 4

，進而根據二次函數的圖象和性質得到

b

a

的取值范圍；
法二：當y=1時，根據a=x+y，b=

x2+7xy+y2

，可將

b

a

化為

1+ 5 x+2+ 1 x

的形式，進而利用基本不等式求出

b

a

的取值范圍；
（2）

c2

xy

=k，則c=

k•xy

，由于a，b，c為三角形的三邊，由“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”構造關于k的不等式組，進而根據對勾函數的單調性，求出

c2

xy

的取值范圍．

解答：解：（1）由題設知，x=a-1，且a=x+1＞1
所以，

b

a

=

(a-1)2+7(a-1)+1

a

=

a2+5a-5 a2

=

-5( 1 a - 1 2 )2+ 9 4

又a=x+1＞1⇒

1

a

∈(0，1)
結合二次函數的圖象知1＜-5(

1

a

-

1

2

)2+

9

4

≤

9

4

故

b

a

的取值范圍為(1，

3

2

]
另解：

b

a

=

x2+7x+1

x+1

=

x2+7x+1 x2+2x+1

=

1+ 5x x2+2x+1

=

1+ 5 x+2+ 1 x

，∵x+2+

1

x

≥4，0＜

5

x+2+ 1 x

≤

5

4

∴1＜

b

a

≤

3

2

，得

b

a

的取值范圍為(1，

3

2

]
（2）設

c2

xy

=k，則c=

k•xy

∵

c＜(x+y)+ x2+7xy+y2 c＞ x2+7xy+y2 -(x+y)

恒成立，
即

k ＜ (x+y)+ x2+7xy+y2 xy k ＞ x2+7xy+y2 -(x+y) xy

k ＜ x y + y x +2 + x y + y x +7 k ＞ x y + y x +7 - x y + y x +2

，恒成立
令

x

y

=t，由于y=t+

1

t

在[1，+∞）是增函數，令f(t)=

t+ 1 t +7

+

t+ 1 t +2

，則f(t)=

t+ 1 t +7

+

t+ 1 t +2

≥

9

+

4

=5
又∵

t+ 1 t +7

-

t+ 1 t +2

=

5

t+ 1 t +7 + t+ 1 t +2

≤1∴1＜

k

＜5，1＜k＜25，
得

c2

xy

的取值范圍為（1，25）

點評：本題考查的知識點是函數的值域，基本不等式在求函數最值時的應用，對勾函數的單調性，其中（1）的關鍵是將

b

a

的表達式，根據已知進行變形，為二次函數性質的應用或基本不等式的應用創造條件，（2）的關鍵是設

c2

xy

=k，并根據三角形的三邊“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”構造關于k的不等式組．