Question

已知函數f（x）=elnx+（其中e是自然對數的底數，k為正數）
（I）若f（x）在x處取得極值，且x是f（x）的一個零點，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在區間[，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f'（x）=0求出x，代入f（x）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，根據k的范圍得到導函數零點的范圍，由導函數的零點對給出的區間分段，判出導函數在兩區間段內的符號，得到原函數在區間[，1]上端點處取得最大值，通過比較兩個端點值的大小得到答案．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=elnx+，所以．
由已知得f'（x）=0，即，∴
又f（x）=0，即，∴k=1；
（Ⅱ），
∵1＜k≤e，∴，
由此得時，f（x）單調遞減；時，f（x）單調遞增．
故
又，當ek-e＞k，即時，．
當ek-e≤k，即時，f_max（x）=f（1）=k．
點評：本題考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是比較端點值的大小，是中高檔題．