Question

【題目】如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為菱形，且， ， ， 為中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點，連結，推導出四邊形為平行四邊形．從而.進而平面，由此能證明平面平面.，從而平面.
（Ⅱ）取中點，連結.以為原點， 為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值.．

試題解析：

（1）證明：取中點，連結，因為分別為中點，所以.

又平面，且平面，所以平面，因為， ，所以， .所以四邊形為平行四邊形.

所以.又平面且平面，

所以平面，又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：取中點，連結.因為，所以.

因為平面平面，所以平面， .

因為， ，所以為等邊三角形.

因為為中點，所以.因為兩兩垂直，設，

以為原點， 為軸，如圖建立空間直角坐標系

由題意得， ， ， ， ， ， .

， ， ，

設平面的法向量為

則，即令，則， 所以.

設平面的法向量為

則，即令，則， 所以.

∴∴二面角平面角的正弦值為