Question

試根據復合函數的求導法則，研究函數f（x）=x^x（x＞0）的性質，并回答：下列命題中假命題的個數是（　　）
①f（x）的極大值為1；
②f（x）的極小值為1；
③f（x）的一個單調遞增區間是(

1

10

，10)．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據條件，對f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，利用復合函數求導法則求出f′（x），令其等于0即可得到函數的單調區間與極值．

解答：解：∵f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，
∴f′（x）=（x^x）′=e^xlnx（lnx+1）=x^x（lnx+1）=0
得x=

1

e

當x=

1

e

時，f（x）取極小值為e-

1

e

，
f（x）的單調遞增區間是（

1

e

，+∞)．
故命題①②③全錯，
故選D．

點評：本題考查對數的恒等變形，以及復合函數求導法則，利用導數研究函數的單調性和極值問題，考查了運算能力和分析解決問題的能力，以及計算能力，屬中檔題．