Question

已知y=f（x）是定義域為R的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）寫出函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a恰有3個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的奇偶性，利用對稱性，寫出函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數f（x）的表達式，利用數形結合的思想求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-2（-x））=-x²-2x，
∴f(x)=

x2-2x -x2-2x

x≥0 x＜0

．
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值為-1；
∴當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-2x=1-（x+1）²，最大值為1．
∴據此可作出函數y=f（x）的圖象，根據圖象得，
若方程f（x）=a恰有3個不同的解，則a的取值范圍是（-1，1）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及方程根的個數問題，利用數形結合是解決本題的關鍵．