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某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域中（含邊界），且與A,B等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP ，設排污管道的總長為km．

   （Ⅰ）設∠BAO=(rad)，將表示成的函數關系式；

  

（Ⅱ）請用（Ⅰ）中的函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

 

 

 

【答案】

（Ⅰ）由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故

，又OP＝，

所以，

所求函數關系式為

（Ⅱ）

  

令0 得sin ，因為，所以=，

當時， ，是的減函數；當時， ，是的增函數，所以當=時，。

 

這時點P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處。

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處．AB=20km，BC=10km．為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數關系式：
（Ⅰ）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；
（Ⅱ）設OP=x（km），將y表示成x的函數；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為ykm．
（1）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；
（2）試確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年江蘇卷）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm。

（I）按下列要求寫出函數關系式：

①     設，將表示成的函數關系式；

②     設，將表示成的函數關系式。

（II）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。

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科目：高中數學 來源： 題型：

（江蘇卷17）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm。

（I）按下列要求寫出函數關系式：

設，將表示成的函數關系式；

設，將表示成的函數關系式。

（II）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。

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科目：高中數學 來源：2008年普通高等學校招生全國統一考試數學試題（江蘇卷） 題型：解答題

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm。

（I）按下列要求寫出函數關系式：

①設，將表示成的函數關系式；

②設，將表示成的函數關系式。

（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。

 

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