Question

【題目】在直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數．在以原點為極點，為參數）．在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設，直線與曲線C交于M，N兩點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）7.

【解析】

（Ⅰ）直接把曲線C的參數方程平方相加，可以消除參數，得到普通方程，結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程；（Ⅱ）先寫出直線的標準式參數方程，代入曲線方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數的關系及的幾何意義，即可求出。

(I) 曲線C的普通方程:，

直線l的直角坐標方程：；

（II）設直線l的參數方程為（t為參數）

代入，

得，故；

設對應的對數分別為，

則，

故.