Question

【題目】設函數f（x）=lnx，g（x）=lnx﹣x+2．
（1）求函數g（x）的極大值；
（2）若關于x的不等式 在[1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）已知 ，試比較f（tanα）與﹣cos2α的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=lnx﹣x+2，（x＞0），則g′（x）= ，

當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴當x=1時，函數g（x）取得極大值1

（2）解：mf（x）≥ mlnx﹣ ≥0，

令h（x）=mlnx﹣ ，則h′（x）= ，

∵h（1）=0，故當m（x+1）2﹣2x≥0[1，+∞）在上恒成立時，

使得函數h（x）在[1，+∞）上單調遞增，

∴m≥ = 在[1，+∞）上恒成立，故m≥ ；

經驗證，當m≥ 時，函數h′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；

當m＜ 時，不滿足題意．

∴m≥

（3）解：令F（α）=ln（tanα）+cos2α，則F′（α）= ，

∵α∈（0， ），∴sin2α＞0，∴F′（α）＞0，

故F（α）單調遞增，又F（ ）=0，

∴當0＜α＜ 時，f（tanα）＜﹣cos2α；

當α= 時，f（tanα）=﹣cos2α；

當 ＜α＜ ，f（tanα）＞﹣cos2α

【解析】（1）求出g（x）的導數，得到g（x）的單調區間，從而求出g（x）的極大值即可；（2）問題轉化為mlnx﹣ ≥0，令h（x）=mlnx﹣ ，求出函數h（x）的導數，根據函數的單調性求出m的范圍即可；（3）令F（a）=ln（tana）+cos2a，求出函數F（a）的導數，根據a的范圍，求出函數的單調性，從而比較f（tana）和﹣cos2a的大小即可．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．