Question

已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.

(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；

(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(I) .

(II)當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 

【解析】

試題分析：

思路分析：(I)根據四邊形OABC為菱形, AC與OB相互垂直平分. 注意確定.

(II)假設四邊形OABC為菱形.  因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設AC的方程為.

由消去應用韋達定理確定AC的中點為M(,).

得到直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不垂直.所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 

解：(I)橢圓W:的右頂點B的坐標為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設A(1,),代入橢圓方程得,即.  所以菱形OABC的面積是.

(II)假設四邊形OABC為菱形.  因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設AC的方程為.

由消去并整理得.

設A,C,則,.

所以AC的中點為M(,).

因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為.

因為,所以AC與OB不垂直.  所以OABC不是菱形,與假設矛盾.

所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 

考點：橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，菱形的性質。

點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。