Question

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（Ⅲ）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：連結A1C、AC，AC和BD交于O，連結C1O． ∵四邊形ABCD是菱形，如圖 ∴AC⊥BD，BC＝CD． 又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C， ∴△C1BC≌△C1DC，  ∴C1B＝C1D，∵DO＝OB， ∴C1O⊥BD．  但AC⊥BD，AC∩C1O＝O． ∴BD⊥平面AC1，  又C1C平面AC1， ∴C1C⊥BD． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C1O⊥BD， ∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角． 在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60°， ∴C1B2＝22＋（）2－2×2××cos60°＝． ∵∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝1． ∴C1O2＝C1B2－OB2＝－1＝，  ∴C1O＝即C1O＝C1C． 作C1H⊥OC，垂足為H．  ∴點H是OC的中點，且OH＝， 所以cosC1OC＝． （Ⅲ）當＝1時，能使A1C⊥平面C1BD． 證法一：∵＝1，  ∴BC＝CD＝C1C 又∠BCD＝∠C1CB＝∠C1CD，  由此可推得BD＝C1B＝C1D． ∴三棱錐C—C1BD是正三棱錐．  設A1C與C1O相交于G． ∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC＝2∶1， ∴C1G∶GO＝2∶1．  又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線， ∴點G是正三角形C1BD的中心， ∴CG⊥平面C1BD．  即A1C⊥平面C1BD． 證法二：由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC1， ∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C， 當＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形， 同BD⊥A1C的證法可得BC1⊥A1C，  又BD∩BC1＝B， ∴A1C⊥平面C1BD．