Question

（2013•福建）選修4-2：矩陣與變換
已知直線l：ax+y=1在矩陣A=

1 2 0 1

對應的變換作用下變為直線l′：x+by=1
（I）求實數a，b的值
（II）若點P（x₀，y₀）在直線l上，且A

x0 y   0

=

x0 y   0

，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（I）任取直線l：ax+y=1上一點M（x，y），經矩陣A變換后點為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標之間的關系，求出直線l′的方程，從而建立關于a，b的方程，即可求得實數a，b的值；
（II）由A

x0 y   0

=

x0 y   0

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，從而解得y₀的值，又點P（x₀，y₀）在直線l上，即可求出點P的坐標．

解答：解：（I）任取直線l：ax+y=1上一點M（x，y），
經矩陣A變換后點為M′（x′，y′），則有

1 2 0 1

x y

=

x′ y′

，
可得

x′=x+2y y′=y

，又點M′（x′，y′）在直線l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得

a=1 b+2=1

，解得

a=1 b=-1

（II）由A

x0 y0

=

x0 y0

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，從而y₀=0，
又點P（x₀，y₀）在直線l上，∴x₀=1，
∴點P的坐標為（1，0）．

點評：本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查矩陣變換，關鍵是正確利用矩陣的乘法公式．