Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且平面，，M，N分別為，的中點.

（1）記平面與底面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關系，并證明.

（2）點Q在棱上，若Q到平面的距離為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）直線平面，證明見解析.（2）.

【解析】

（1）連接，可由線面平行判定定理證明平面，再由線面平行性質及平行線的傳遞性證明直線與平面平行即可.

（2）以A為原點建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并設，，結合坐標運算可用表示的坐標，并求得平面的法向量.根據條件及點到平面距離的向量求法，即可確定的值，進而求得線段的長.

（1）直線與平面平行，證明如下：

連接，如下圖所示：

M，N分別為，的中點，

則由中位線定理可得，

因為平面，平面，

所以平面，

平面與底面的交線為，

由線面平行的性質可得，

又因為，

則由平行線傳遞性可得

因為，且平面，平面，

所以直線平面.

（2）根據題意，以A為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則設，，（），

所以

解得，所以

則由中點坐標公式可得，

則

設平面的法向量為，

則，即

所以，令，代入解得.

即

而，

所以Q到平面的距離，

解得，因為，

所以.

所以