Question

21.若函數f（x）=x³－ax²+（a－1）x+1在區間（1,4）內為減函數，在區間（6，＋∞）上為增函數，試求實數a的取值范圍.

　

Answer 1

21.本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數單調性的基本方法，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.

　解：函數f（x）的導數f′（x）=x²－ax+a－1.

令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.

當a－1≤1，即a≤2時，函數f（x）在（1,+∞）上為增函數，不合題意.

當a－1>1,即a>2時，函數f（x）在（－∞,1）上為增函數，在（1,a－1）內為減函數，在（a－1,+∞）上為增函數.

依題意應有

當x∈（1,4）時，f′（x）<0,

當x∈（6,+∞）時，f′（x）>0.

所以4≤a－1≤6,解得5≤a≤7.

所以a的取值范圍是［5,7］.