Question

已知等差數列{a_n}的公差d≠0，數列{b_n}是等比數列，又a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2．
（1）求數列{a_n}及數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{b_n}的公比為q，根據等差等比數列的通項公式建立關于q、d的方程組，解之得d=8且q=3，即可得到{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）由（1）得c_n=（8n-7）•3^n-1，從而得到S_n=1•3+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，將等式兩邊都乘以3，利用錯位相減法并結合等比數列的求和公式化簡，可得S_n=（8n-11）•3ⁿ+．
解答：解：（1）設{b_n}的公比為q，可得
∵a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2，
∴，解之得d=8且q=3
因此，a_n=1+8（n-1）=8n-7，b_n=3^n-1；
（2）由（1）得c_n=a_n•b_n=（8n-7）•3^n-1
∴S_n=1•3+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，
兩邊都乘以3，可得3S_n=1•3¹+9•3²+17•3³+…+（8n-7）•3ⁿ，
相減得：-2S_n=1+8（3+3²+…+3^n-1）-（8n-7）•3ⁿ
=1+-（8n-7）•3ⁿ=1+4（3ⁿ-3）-（8n-7）•3ⁿ=-（8n-11）•3ⁿ-11
∴S_n=（8n-11）•3ⁿ+．
點評：本題給出等差、等比數列滿足的條件，求它們的通項公式并求數列{a_n•b_n}的前n項和．著重考查了等差數列、等比數列的通項公式，錯位相減法求數列的前n項和與等比數列的求和公式等知識，屬于中檔題．