Question

設首項為a₁的正項數列{a_n}的前n項和為S_n，q為非零常數，已知對任意正整數n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n總成立．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）若不等的正整數m，k，h成等差數列，試比較a_m^m•a_h^h與a_k^2k的大��；
（Ⅲ）若不等的正整數m，k，h成等比數列，試比較與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令n=m=1，得a₂=qa₁，令m=1，得S_n+1=S₁+qS_n（1），從而S_n+2=S₁+qS_n+1兩式相減即可得出a_n+2=qa_n+1，進而可判斷出數列{a_n}是等比數列
（Ⅱ）根據m，k，h成等差數列，可知m+h=2k，進而可判定，進而根據等比數列的通項公式分q大于、等于和小于1三種情況判斷．
（Ⅲ）正整數m，k，h成等比數列，則m•h=k²，判斷出，進而根據等差根據等比數列的通項公式分a₁和q大于、等于和小于1三種情況判斷．
解答：（Ⅰ）證：因為對任意正整數n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n總成立，
令n=m=1，得S₂=S₁+qS₁，則a₂=qa₁
令m=1，得S_n+1=S₁+qS_n（1），從而S_n+2=S₁+qS_n+1（2），
（2）-（1）得a_n+2=qa_n+1，（n≥1）
綜上得a_n+1=qa_n（n≥1），所以數列{a_n}是等比數列
（Ⅱ）正整數m，k，h成等差數列，
則m+h=2k，
所以，
則
①當q=1時，a_m^m•a_h^h=a₁^2k=a_k^2k
②當q＞1時，
③當0＜q＜1時，
（Ⅲ）正整數m，k，h成等比數列，則m•h=k²，則，
所以，
①當a₁=q，即時，=
②當a₁＞q，即時，=
③當a₁＜q，即時，=
點評：本題主要考查了等比關系的確定和等比數列的性質．等比數列常與不等式一塊考查，應引起重視．