Question

【題目】已知函數，，.

（1）求函數的單調增區間；

（2）令，且函數有三個彼此不相等的零點0，m，n，其中.

①若，求函數在處的切線方程；

②若對，恒成立，求實數t的去取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間是，；（2）①，②或

【解析】

（1）先求得函數，對函數求導，令大于零，解不等式即可求得單調增區間；
（2）易知，，①求出，的值，進而求得切線方程；②由對，恒成立，可得，分與兩種情況討論，從而可求得的取值范圍．

（1）∵，

∴

∴，令，得或.

∴的單調增區間是，.

（2）由方程，得m，n是方程的兩實根，故，，且由判別式得.

①若，得，，故，得，

因此，故函數在處的切線方程為.

②若對任意的，都有成立，所以.

因為，，所以或.

當時，對有，所以，解得.又因為，得，則有；

當時，，則存在的極大值點，且.

由題意得，將代入得進而得到，得.

又因為，得.

綜上可知t的取值范圍是或.