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A－BCD是三棱錐，H，F分別是AC，BD的中點，過H，F且平行于AD的平面分別交AB，CD于E，G．(1)求證：平面EFGH∥BC；(2)求證：平面EFGH把三棱錐A－BCD分成等體積的兩個多面體．

答案：
解析：

　　解 (1)AD∥平面EFGH，AD平面ACD，平面EFGH∩平面ACD=HG，∴AD∥HG．∵H是AC的中點，∴G是CD的中點，F是BD的中點，同理可知E是AB的中點，于是BC∥FG，∵FG平面EFGH，∴BC∥平面EFGH．

　　(2)由(1)可知EHBC，FGBC，∴EHFG，即EFGH是平行四邊形，∴，FC是△BCD的中線，∴，于是①．又設直線AC與平面EFGH所成的角為α，則點A，C到平面EFGH的距離分別為AHsinα和CHsinα．∵AH=CH，∴點A，C到平面EFGH的距離相等，∴②．由①、②兩式可知平面EFGH把三棱錐A－BCD分成等體積的兩個多面體．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF⊥DE，若BC=a，則正三棱錐A-BCD的體積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

8、棱長都相等的四面體稱為正四面體．在正四面體A-BCD中，點M，N分別是CD和AD的中點，
給出下列命題：
①直線MN∥平面ABC；
②直線CD⊥平面BMN；
③三棱錐B-AMN的體積是三棱錐B-ACM的體積的一半．
則其中正確命題的序號為
①③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O-ABCV的體積用VO-ABC表示．對于命題：如果O是線段AB上一點，則|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
．將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內一點，有S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
．將它類比到空間的情形應該是：若O是三棱錐A-BCD內一點，則有
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點，延長EF、HG交于P，則點P（　�。�

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