Question

橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），其右焦點F₂（1，0），右準線為x=2，斜率為k的直線l過橢圓C的右焦點，并且和橢圓相交于M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

OM

+

ON

=

OP

，問點P能否落在橢圓C的外部，如果會，求出斜率k的取值范圍；不會，說明理由；
（3）直線l與右準線交于點A（x_A，y_A），且y_A＞0，又有

MF2

=λ

F2N

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件c=1，

a2

c

=2，a2=b2+c2，可得a，b的值，最后寫出橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用點P在橢圓的外部即可求得k值取值范圍，從而解決問題．
（3）根據向量條件

MF2

=λ

F2N

，得出y₁與y₂的關系式，利用根與系數的關系得出k與λ的等式，由k＞0，得出關于λ的不等關系，解得λ的取值范圍．

解答：解：（1）由條件c=1，

a2

c

=2，a2=b2+c2，
可得a²=2，b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設直線l：y=k（x-1），聯立橢圓方程

x2

2

+y2=1，
消去x，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，①
消去y，可得（2k²+1）y²+2ky-k²=0，②
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點P（x₁+x₂，y₁+y₂），
由根與系數的關系，得：
x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=

-2k

2k2+1

．
∴P(

4k2

2k2+1

，

-2k

2k2+1

)，
如果點P在橢圓的外部，則有

( 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2＞1，
解得，k＞

2

2

，k＜-

2

2

．
所以，當k＞

2

2

，k＜-

2

2

時，點P在橢圓的外部
（3）根據條件，y_A=k＞0，又

MF2

=λ

F2N

，
所以，y₁=-λy₂
由方程②中根與系數的關系得：
y1+y2=(1-λ)y2=

-2k

2k2+1

…(1)，
y1y2=-λ

y

2 2

=

-k2

2k2+1

…(2)，
由（1）²÷（2）整理得

(1-λ)2

λ

=

4

2k2+1

，
由k＞0，0＜

(1-λ)2

λ

＜4，
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

，且λ≠1．即為λ的取值范圍．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．