Question

已知函數f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設函數f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)內是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由于是高次函數，所以用導數法，先求導，令f′（x）=0分二種情況討論：當判別式△≤0時為增函數，．當△＞0時，由兩個不同的根，則為單調區間的分水嶺．
（II）先由函數求導，再由“函數f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)內是減函數”轉化為“f'（x）=3x²+2ax+1≤0在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立”，進一步轉化為最值問題：2a≥

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立，求得函數的最值即可．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+x+1求導：f'（x）=3x²+2ax+1
當a²≤3時，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增
當a²＞3，f'（x）=0求得兩根為x=

-a± a2-3

3

即f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)遞增，(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)遞減，(

-a+ a2-3

3

，+∞)遞增
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即2a≥

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

3

3

)上為減函數，在(-

3

3

，-

1

3

)上為增函數．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．（2）可以利用 f'（-

2

3

）≤0  且f'（-

1

3

）≤0，所以a≥2．a的取值范圍是[2，+∞）．解答．