Question

(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝2sinωx·cos(ωx＋)＋(ω>0)的最小正周期為4π.
(1)求正實數ω的值；
(2)在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f(A)的值.

Answer 1

（1）ω＝.
（2）f(A)＝sin(×＋)＝sin＝.

解：(1)∵f(x)＝2sinωx(cosωx·cos－sinωx·sin)＋(2分)
＝sinωxcosωx－sin²ωx＋
＝sin2ωx－(1－cos2ωx)＋＝sin(2ωx＋).(5分)
又f(x)的最小正周期T＝＝4π，則ω＝.(6分)
(2)由2bcosA＝acosC＋ccosA及正弦定理可得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C).
又A＋B＋C＝π，則2sinBcosA＝sinB.(8分)
而sinB≠0，則cosA＝.又A∈(0，π)，故A＝.(10分)
由(1)f(x)＝sin(＋)，從而f(A)＝sin(×＋)＝sin＝.(12分)