Question

已知數列滿足，.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，數列{b_n}的前n項和為T_n，試比較T_n與的大小，并予以證明.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由于數列的遞推式的結構為，在求數列的通項的時候可以利用累加法來求數列的通項公式；（2）先求出數列的通項公式，根據其通項結構選擇錯位相減法求出數列的前項和，在比較與的大小時，一般利用作差法，通過差的正負確定與的大小，在確定差的正負時，可以利用數學歸納法結合二項式定理進行放縮來達到證明不等式的目的.
試題解析：（1）當時，
.
又也適合上式，所以.
（2）由（1）得，所以.
因為①，所以②.
由①－②得，，
所以.
因為，
所以確定與的大小關系等價于比較與的大小.
當時，；當時，；
當時，；當時，；……，
可猜想當時，.
證明如下：當時，
.
綜上所述，當或時，；當時，.