Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：
①對任意x₁、x₂∈（-1，1）都有f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)；
②當x＜0時，f（x）＞0．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性與單調性，并給出證明；
（2）若f(

1

5

)=

1

2

，求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₂=-x₁，可得f（x₁）+f（-x₁）=0，進而根據函數奇偶性的定義，可判斷函數的奇偶性，x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，結合當x＜0時，f（x）＞0．及函數單調性的定義，可判斷函數的單調性；
（2）根據f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，結合（1）中函數的奇偶性，可得f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)，結合f(

1

5

)=

1

2

，可求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

解答：解：（1）∵f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，
令x₁=x₂=0
則f（0）+f（0）=f（0）
解得f（0）=0
令x₂=-x₁，
則f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（-x₁）=f（0）=0
∴函數f（x）為奇函數
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∵當x＜0時，f（x）＞0
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即函數f（x）在（-1，1）上為減函數
（2））∵f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)
=f(

1 2 - 1 11

1- 1 2 • 1 11

)-f(

1

19

)
=f(

3

7

)-f(

1

19

)
=f(

3 7 - 1 19

1- 3 7 • 1 19

)
=f(

5

13

)
=f(

1 5 + 1 5

1+ 1 5 • 1 5

)
=2•f(

1

5

)=

1

2

•2=1

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數奇偶性與函數單調性的綜合，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．