Question

數列{a_n}中，a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

（n≥2），當n≥2時，a_n＞a₁
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若b_n=（

1

2

）^a_n-1，S_n為數列{b_n}的前n項和，試比較S_n與

2n+3

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，代入計算可得結論；
（2）猜想通項，利用數學歸納法進行證明；
（3）利用等比數列的求和公式，求和即可得到結論．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

，
∴a₂=1或2
∵當n≥2時，a_n＞a₁，∴a₂=2
同理，a₃=3，a₄=4；
（2）猜想a_n=n，下面用數學歸納法證明：
①n=1，2，3時，顯然成立；
②假設n=k（k≥3）時，結論成立，即a_k=k，則
由a_k²=

(k-2) a 2 k-1 +3ak-1-1

k

=k²，解得a_k+1=k+1或-

k2-k+1

k-2

（舍去）
故對n=k+1時也成立
由①②可知a_n=n；
（3）b_n=（

1

2

）^a_n-1=（

1

2

）^n-1，
∴S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2
∵

2n+3

n+1

=2+

1

n+1

＞2
∴S_n＜

2n+3

n+1

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．