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數列{an}中,a1=1,an-12=
(n-3)
a
2
n
+3an-1
n-1
(n≥2),當n≥2時,an>a1
(1)求a2,a3,a4;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若bn=(
1
2
an-1,Sn為數列{bn}的前n項和,試比較Sn
2n+3
n+1
的大小.
分析:(1)利用數列遞推式,代入計算可得結論;
(2)猜想通項,利用數學歸納法進行證明;
(3)利用等比數列的求和公式,求和即可得到結論.
解答:解:(1)∵a1=1,an-12=
(n-3)
a
2
n
+3an-1
n-1
,
∴a2=1或2
∵當n≥2時,an>a1,∴a2=2
同理,a3=3,a4=4;
(2)猜想an=n,下面用數學歸納法證明:
①n=1,2,3時,顯然成立;
②假設n=k(k≥3)時,結論成立,即ak=k,則
由ak2=
(k-2)
a
2
k-1
+3ak-1-1
k
=k2,解得ak+1=k+1或-
k2-k+1
k-2
(舍去)
故對n=k+1時也成立
由①②可知an=n;
(3)bn=(
1
2
an-1=(
1
2
n-1,
∴Sn=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2-
1
2n-1
<2
2n+3
n+1
=2+
1
n+1
>2
∴Sn
2n+3
n+1
點評:本題考查數列遞推式,考查數列的通項與求和,考查數學歸納法的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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數列{an}中,a1=1,an=
12
an-1+1(n≥2),求通項公式an

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科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an}中,a1=
1
5
,an+an+1=
6
5n+1
,n∈N*,則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)等于( 。
A、
2
5
B、
2
7
C、
1
4
D、
4
25

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3
3

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(2007•長寧區一模)如果一個數列{an}對任意正整數n滿足an+an+1=h(其中h為常數),則稱數列{an}為等和數列,h是公和,Sn是其前n項和.已知等和數列{an}中,a1=1,h=-3,則S2008=
-3012
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