Question

已知向量

m

=（2acosx，sinx），

n

=（cosx，bcosx），f（x）=

m

•

n

-

3

2

，函數f（x）的圖象在y軸上的截距為

3

2

，并且過點(

π

4

，

1

2

)
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若A是三角形的內角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，求

3sinA-2cosA

sinA+cosA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題設知f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，由f（0）=

3

2

，得a=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得b=1，因而f（x）=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=sin（2x+

π

3

），由此能求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ） 由A是三角形的內角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，知sinA=

2 5

5

，則當A為銳角時cosA=

5

5

，由此能求出

3sinA-2cosA

sinA+cosA

．當A為鈍角時cosA=-

5

5

，由此能求出

3sinA-2cosA

sinA+cosA

．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2acosx，sinx），

n

=（cosx，bcosx），
f（x）=

m

•

n

-

3

2

，
∴f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，
由已知，則f（0）=

3

2

，得a=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得b=1，
因而f（x）=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
得到函數f（x）的單調增區間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得到函數f（x）的單調減區間為：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵A是三角形的內角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，
∴sinA=

2 5

5

，
則當A為銳角時cosA=

5

5

，

3sinA-2cosA

sinA+cosA

=

3× 2 5 5 -2× 5 5

2 5 5 + 5 5

=

4

3

，
當A為鈍角時cosA=-

5

5

，

3sinA-2cosA

sinA+cosA

=

3× 2 5 5 +2× 5 5

2 5 5 - 5 5

=8．

點評：本題考查平面向量的綜合應用和三角函數的綜合應用．解題時要認真審題，注意三角函數恒等變換的合理運用．