Question

（本題13分）設，，函數，
（1）設不等式的解集為C，當時，求實數取值范圍；
（2）若對任意，都有成立，求時，的值域；
（3）設 ，求的最小值．

Answer 1

（1）（2）（3）

本試題主要是研究二次函數的 性質的運用。利用函數的單調性和不等式的知識的綜合運用得到。
（1）根據不等式的解集得到C，然后利用集合的并集和集合間的關系得到實數m的范圍
（2）根據對于任意的實數都有函數式子成立，說明函數的對稱軸x=1，然后得到解析式，從而求解給定區間的值域。
（3）利用給定的函數，結合二次函數的圖像與性質得到最值。
解：（1），因為，圖像開口向上，
且恒成立，故圖像始終與軸有兩個交點，由題意，要使這兩個交點橫坐標
，當且僅當：，………3分，解得： ……4分
（2）對任意都有，所以圖像關于直線對稱，所以，
得．所以為上減函數． 
；．故時，值域為      6分（3）令，則
（i）當時，，當，
則函數在上單調遞減，從而函數在上的最小值為．
若，則函數在上的最小值為，且
（ii）當時，函數，若，
則函數在上的最小值為，且，若，
則函數在上單調遞增，
從而函數在上的最小值為．…………………………1分
綜上，當時，函數的最小值為，當時，
函數的最小值為
當時，函數的最小值為．      13分GH