Question

設函數的定義域為，對任意的實數都有；當時，，且.（1）判斷并證明在上的單調性；

（2）若數列滿足：，且，證明：對任意的，

 

Answer 1

【答案】

（1）單調遞增（2），再利用.

【解析】

試題分析：（1）在上單調遞增，證明如下： 設任意，且，∵，∴，∴

即，∴在上單調遞增.  

（2）在中，令，得.令，

得，∴.令，得，即

下面用數學歸納法證明：   

①當時，，不等式成立；

②假設當時，不等式成立，即，則∵在上單調遞增，

∴，∴，即當時不等式也成立.

綜上①②，由數學歸納法原理可知對任意的，

考點：數學歸納法；抽象函數及其應用；數列與函數的綜合

點評：本題考查函數的單調性，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．