Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程

（Ⅱ）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂=1

（Ⅲ）是否存在常數，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，                

所以橢圓的標準方程為；                                  ……………1

所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。                                 ……………4

（Ⅱ）設點P（，），則=，=，所以=

，                                      ……………6

又點P（，）在雙曲線上，所以有，即，所以

=1。                               ……………8

（Ⅲ）假設存在常數，使得恒成立，則由（Ⅱ）知，所以設直線AB的方程為，則直線CD的方程為，

由方程組消y得：，設，，

則由韋達定理得：                    ……………9

所以|AB|==，同理可得         ……………10

|CD|===，     ……………11

又因為，所以有=+

=，所以存在常數，使得恒成立。  

【解析】略