Question

已知函數有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在上是減函數，在上是增函數．
（1）如果函數的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）求函數（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數在上是減函數，在上是增函數，根據函數的值域是[6，+∞），即可求實數m的值；
（2）令x²=t，從而問題可轉化為f（t）在[1，4]上的最小值，分類討論：1°當，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數；2°當，即1≤a≤16時，；3°當，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數，故可求最小值g（a）的表達式．
解答：解：（1）由已知，函數在上是減函數，在上是增函數，
∴，…（4分）
∴，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴，
原題即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°當，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數，此時，…（9分）
2°當，即1≤a≤16時，，
3°當，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數，此時g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=
點評：本題考查函數的最值，考查函數的單調性，解題的關鍵是利用函數的單調性，解決函數的最值問題．