Question

【題目】已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有；

②；

③若，且，則有成立，則稱為“友誼函數”．

（）若已知為“友誼函數”，求的值．

（）分別判斷函數與在區間上是否為“友誼函數”，并給出理由．

（）已知為“友誼函數”，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（）成立，令，，即，再根據對任意的，總有，得到，即得．（2）利用“友誼函數”的定義證明滿足條件①②③，在區間上不滿足②，即得為友誼函數，不是友誼函數．（3）利用證明．

（）已知為友誼函數，則當，且，

有成立，

令，，

則，即，

又∵對任意的，總有，

∴，

∴．

（）顯然，在上滿足①，②，

若，，且，

則有，

故，

∴滿足條件①②③，

∴為友誼函數，

在區間上滿足①，

∵，

∴在區間上不滿足②，

故不是友誼函數．

（）證明：∵，則，

∴，

即．