Question

 已知橢圓的一條準線為，且與拋物線有相同的焦點．  

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點是該橢圓的左準線與軸的交點，是否存在過點的直線與橢圓相交于、兩點，且線段的中點恰好落到由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區域內（包括邊界）？若存在，求出直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．  

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）依題意，易知橢圓的方程為．     .              …………4分

（Ⅱ）橢圓的左準線方程為，點P的坐標，

假設存在直線符合題意，其斜率顯然存在，設直線的方程為．            ………5分

設點的坐標分別為線段的中點為，  

將代入橢圓，得.……① ………6分

由解得.……②             …………7分

，于是，  

因為，所以點不可能在軸的右邊，           …………9分

又直線，方程分別為，則必有  

 即亦即．   …………11分

解得，此時②也成立．                         …………12分