Question

設一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0(n∈N₊)有兩根α、β，且滿足6α-2αβ+6β=3.

(1)試用a_n表示a_n+1;

(2)求證：{a_n-}是等比數列；

（3）當a₁=時，求數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

(1)解：根據根與系數關系，有關系式

代入題設條件6（α+β）-2αβ=3,

得=3,∴a_n+1=a_n+.

(2)證明：由于a_n+1=a_n+,這是數列{a_n}中相鄰兩項之間的遞推公式.現把這一遞推關系式轉化為等比數列的形式.

∵a_n+1=a_n+,

∴a_n+1-=,故數列{a_n-}是公比為12的等比數列.

(3)解：當a₁=，a₁-=.

∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=()ⁿ.

∴a_n=23+12ⁿ,n∈N₊.