Question

某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件．若作廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出件，（n∈N^*）．
（1）試寫出銷售量s與n的函數關系式；
（2）當a=10，b=4000時廠家應生產多少件這種產品，做幾千元廣告，才能獲利最大？

Answer 1

【答案】分析：對于（1）中的函數關系，設廣告費為n千元時的銷量為s_n，則s_n-1表示廣告費為（n-1）元時的銷量，由題意，s_n--s_n-1=，可知數列{s_n}不成等差也不成等比數列，但是兩者的差構成等比數列，對于這類問題一般有以下兩種方法求解：一、直接列式：由題，s=b++++…+=b（2-）
解法二、利用累差疊加法：，，…，累加結合等比數列的求和公式可求S_n
（2））b=4000時，s=4000（2-），設獲利為T_n，則有T_n=s•10-1000n=40000（2-）-1000n，
欲使T_n最大，根據數列的單調性可得，代入結合n為正整數解不等式可求n，進而可求S的最大值
解答：（1）解法一、直接列式：由題，s=b++++…+=b（2-）（廣告費為1千元時，s=b+；2千元時，s=b++；…n千元時s=b++++…+）
解法二、（累差疊加法）設s表示廣告費為0千元時的銷售量，
由題：，相加得S_n-S=+++…+，
即S_n=b++++…+=b（2-）．
（2）b=4000時，s=4000（2-），設獲利為t，則有t=s•10-1000n=40000（2-）-1000n
欲使T_n最大，則，得，故n=5，此時s=7875．
即該廠家應生產7875件產品，做5千元的廣告，能使獲利最大．
點評：本題主要考查了數列的疊加求解通項公式，利用數列的單調性求解數列的最大（小）項，解題中要注意函數思想在解題中的應用．