Question

【題目】已知函數（k為常數，e為自然對數的底數），曲線在點（1, f (1)）處的切線與x軸平行.

（1）求k的值；

（2）求的單調區間；

（3）設其中為的導函數，證明：對任意

Answer 1

【答案】(1);(2) 在區間內為增函數；在內為減函數;(3)見解析.

【解析】分析：（1）由導數的幾何意義得，即可得解；

（2）求導，導數大于0可得增區間，導數小于0可得減區間；

（3）由，當，分析單調性易證得成立；當，分析不等式，只需證即可，設，求導求最值即可證得，，從而得證.

詳解：（1）由f(x) = 可得，而，

即，解得；

（2），令可得，

當時，；

當時，。

于是在區間內為增函數；在內為減函數.

（3），

當時， ，.

當時，要證.

只需證即可

設函數.

則，

則當時，

令解得，

當時；當時，

則當時，且，

則，于是可知當時成立

綜合（1）（2）可知對任意x＞0，恒成立.

【另證1】設函數，則，

則當時，

于是當時，要證，

只需證即可，

設，，

令解得，

當時；當時，

則當時，

于是可知當時成立

綜合（1）（2）可知對任意x＞0，恒成立.

【另證2】根據重要不等式當時，即，（要證明）

于是不等式，

設，，

令解得，

當時；當時，

則當時，

于是可知當時成立.