Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，平分，平面，，點在上，.

（1）求證：平面；

（2）若，,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

（2）.

【解析】

（1）先根據平面得，再根據已知，得平面，即得，另一方面根據計算得，最后根據線面垂直判定定理得結論，（2）根據題意建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解得平面的一個法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系求結果.

（1）證明：因為平面，所以，

又因為，，所以平面

所以

作交于點，則平面，

在中，，，設

則

易證

因為，則

所以，即，

所以平面.

（2）如圖所示，以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸正方向，建立空間直角坐標系

因為垂直平分，所以為直角三角形的斜邊上的中線

所以

因為，，由，得

，

設平面的一個法向量為，

則即得，取，則，

由（1）可知為平面的一個法向量，

所以

由圖可知，所求二面角為銳角

所以所求二面角的余弦值為.