Question

【題目】已知函數 ， 問
（1）求 f x 的單調區間（2）設曲線 y = f x 與 x 軸正半軸的交點為,曲線在點 P 處的切線方程為 y = ,求證:對于任意的正實數 x ,都有 ∈
（1）求的單調區間
（2）設曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為 ,求證:對于任意的正實數 ,都有 ;
（3）若方程（為實數）有兩個正實數根 且 ,求證: .

Answer 1

【答案】
（1）

函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是

（2）

見解答

（3）

【解析】1.由 ， 可得 ， 當 ， 即時，函數單調遞增，當 ， 即時，函數單調遞減，所以函數的單調遞增區間是 ， 單調遞減區間是
2.設 ， 則 ， 曲線在點處的切線方程為 ， 即 ， 令即則 ， 由于在單調遞減,故在單調遞減,又因為 ,所以當時, ,所以當時, 所以在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數, ,對于任意的正實數 ,都有
3.由小題2知 ， 設方程的根為 ， 可得 ， 因為在單調遞減，又由小題2知 ， 所以 ， 類似的，設曲線在原點處的切線為 ， 可得 ， 對任意的 ， 有即 ， 設方程的根為 ， 可得 ， 因為在單調遞增，且 ， 因此 ，
所以。
【考點精析】認真審題，首先需要了解導數的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即)．