Question

我市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？
（2）請根據頻率分布直方圖，估計這100名志愿者樣本的平均數；
（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．
（參考數據：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

Answer 1

【答案】分析：（1）先分別求出這3組的人數，再利用分層抽樣的方法即可得出答案；
（2）利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數據的平均數．
（3）記第3組的3名志愿者為A₁，A₂，A₃，第4組的2名志愿者為B₁，B₂，第5組的1名志愿者為C₁．利用古典概型的概率計算公式、互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
解答：解：（1）第3組的人數為0.3×100=30，第4組的人數為0.2×100=20，第5組的人數為0.1×100=10．…（2分）
因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組抽取的人數分別為：第3組：×6=3； 第4組：×6=2； 第5組：×6=1．
所以應從第3，4，5組中分別抽取3人，2人，1人．…（4分）
（2）根據頻率分布直方圖，樣本的平均數的估計值為：22.5×（0.01×5）+27.5×（0.07×5）+32.5×（0.06×5）+37.5×（0.04×5）+42.5×（0.02×5）=6.45×5=32.25（歲）
所以，樣本平均數為32.25歲．…（8分）
（3）記第3組的3名志愿者為A₁，A₂，A₃，第4組的2名志愿者為B₁，B₂，第5組的1名志愿者為C₁．則從6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有15種．…（10分）
其中第4組的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有9種…（11分）
根據古典概型概率計算公式，得…（12分）
答：第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為…（13分）
點評：熟練掌握頻率分布直方圖、分層抽樣的定義、古典概型的概率計算公式、互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式是解題的關鍵．